Question

12．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且2acos²C+2ccosAcosC+b=0．
（1）求角C的大小；
（2）若b=4sinB，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）先利用正弦定理转化为角的三角等式，再结合三角变换公式可求角C的大小；
（2）先利用正弦定理可求c，再利用余弦定理建立关于a，b的等式，再结合基本不等式求得ab的最大值，进而可求面积的最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵acos2C+2ccosAcosC+a+b=0，
∴2acos²C+2ccosAcosC+b=0．
∴由正弦定理可得：2sinAcos²C+2sinCcosAcosC+sinB=0．
∴2cosCsin（A+C）+sinB=0，即2cosCsinB+sinB=0，
∵0°＜B＜180°，
∴sinB≠0，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴C=120°…6分
（2）根据（1），由正弦定理，可得：c=$\frac{bsinC}{sinB}$=2$\sqrt{3}$，
由余弦定理，可得（2$\sqrt{3}$）²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab≥3ab，…10分
∴ab≤4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC$≤\sqrt{3}$．
∴△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理论证能力，运算求解能力和转化和化归思想，属于基础题．