Question

15．（1）化简：[2sin50°+sin10°（1+$\sqrt{3}$tan10°）]$\sqrt{1+cos{20°}}$
（2）求证：$\frac{tan5α+tan3α}{cos2αcos4α}$=4（tan5α-tan3α）．

Answer 1

分析 （1）首先利用关系式进行恒等变换，主要考察切化弦思想的应用，进一步通过三角的恒等变换求出结果．
（2）将正切关系化为正余弦之比，然后通分，根据两角和与差的正弦公式化简，最后根据正弦函数的二倍角公式可得证．

解答 解：（1）[2sin50°+sin10°（1+$\sqrt{3}$tan10°）]$\sqrt{1+cos{20°}}$
=[2sin50°+sin10°（1+$\sqrt{3}$×$\frac{sin10°}{cos10°}$）]$\sqrt{2co{s}^{2}10}$
=（2sin50°+sin10°×$\frac{cos10°+\sqrt{3}sin10°}{cos10°}$）$\sqrt{2}$cos10°
=[2sin50°+sin10°×$\frac{2sin40°}{cos10°}$）•$\sqrt{2}$cos10°
=2$\sqrt{2}$（sin50°cos10°+cos50°sin10°）
=2$\sqrt{2}$sin60°
=$\sqrt{6}$．
（2）证明：$\frac{tan5α+tan3α}{cos2αcos4α}$=4（tan5α-tan3α）．
即证$\frac{\frac{sin5α}{cos5α}+\frac{sin3α}{cos3α}}{cos2αcos4α}$=4（$\frac{sin5α}{cos5α}$-$\frac{tan3α}{cos3α}$）成立，即$\frac{sin5αcos3α+cos5αsin3α}{cos2αcos4α}$=4（sin5αcos3α-cos5αsin3α），
即证$\frac{sin8α}{cos2αcos4α}$=4sin2α成立，
又因为sin8α=2sin4αcos4α=4sin2αcos2αcos4α，
所以左边=$\frac{sin8α}{cos2αcos4α}$=$\frac{4sin2αcos2αcos4α}{cos2αcos4α}$=4sin2α=右边，
得证．

点评 本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，特殊角的三角函数的值得应用，主要考查学生的恒等变换能力和应用能力．