Question

10．已知f（x）是定义在R上的函数，且满足①f（4）=0；②曲线y=f（x+1）关于点（-1，0）对称；③当x∈（-4，0）时f（x）=log₂（$\frac{x}{{e}^{|x|}}$+e^x-m+1），若y=f（x）在x∈[-4，4]上有5个零点，则实数m的取值范围为（　　）

• A． [-3e^-4，1）
• B． [-3e^-4，1）∪{-e^-2}
• C． [0，1）∪{-e^-2}
• D． [0，1）

Answer 1

分析 可判断f（x）在R上是奇函数，从而可化为当x∈（-4，0）时，f（x）=log₂（$\frac{x}{{e}^{|x|}}$+e^x-m+1）有1个零点，从而转化为xe^x+e^x-m+1=1在（-4，0）上有1个解，再令g（x）=xe^x+e^x-m，求导确定函数的单调性及取值范围，从而解得实数m的取值范围．

解答 解：∵曲线y=f（x+1）关于点（-1，0）对称，
∴曲线y=f（x）关于点（0，0）对称，
∴f（x）在R上是奇函数，
则f（0）=0．
又∵f（4）=0，
∴f（-4）=0，
而y=f（x）在x∈[-4，4]上恰有5个零点，
故x∈（-4，0）时，f（x）=log₂（$\frac{x}{{e}^{|x|}}$+e^x-m+1）有1个零点，
而f（x）=log₂（$\frac{x}{{e}^{|x|}}$+e^x-m+1）
=log₂（$\frac{x}{{e}^{-x}}$+e^x-m+1）
=log₂（xe^x+e^x-m+1），
故xe^x+e^x-m+1=1在（-4，0）上有1个解，
令g（x）=xe^x+e^x-m，
g′（x）=e^x+xe^x+e^x=e^x（x+2），
故g（x）在（-4，-2）上是减函数，在（-2，0）上是增函数．
而g（-4）=-4e^-4+e^-4-m=-3e^-4-m，g（0）=1-m，g（-2）=-2e^-2+e^-2-m=-e^-2-m，
而g（-4）＜g（0），
故g（-2）=-e^-2-m=0或-3e^-4-m≤0＜1-m，
故m=-e^-2或-3e^-4≤m＜1，
∴实数m的取值范围为[-3e^-4，1）∪{-e^-2}．
故选：B．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系应用，属中档题．