Question

12．已知某几何体的俯视图是如图所示的正方形，正视图和侧视图都是底面边长为6，高为4的等腰三角形．
（1）求该几何体的体积V；
（2）求该几何体的表面积S．

Answer 1

分析 由三视图得该几何体是正四棱锥，画出直观图，由题意求出棱长、高以及斜面上的高，
（1）由椎体的条件求出该几何体的体积V；
（2）由图和面积公式求出该几何体的表面积S．

解答 解：由三视图得该几何体是正四棱锥P-ABCD，如图所示：
其中PO⊥平面ABCD，E是BC的中点，
∵正视图和侧视图都是底面边长为6，高为4的等腰三角形，
∴PO=4，AB=BC=6，OE=3，
则PE=$\sqrt{P{O}^{2}+O{E}^{2}}$=5，
（1）该几何体的体积V=$\frac{1}{3}×6×6×4$=48；
（2）∵E是BC的中点，∴PE⊥BC
∴该几何体的表面积S=$6×6+4×\frac{1}{2}×6×5$=96．

点评 本题考查由三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．