Question

19．如图所示，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，F为CD的中点．
求证：
（Ⅰ）AF∥平面BCE；
（Ⅱ）平面BCE⊥平面CDE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CE的中点G，连结FG、BG．由已知条件推导出四边形GFAB为平行四边形，由此能证明AF∥平面BCE．
（Ⅱ）由等边三角形性质得AF⊥CD，由线面垂直得DE⊥AF，从而AF⊥平面CDE，由平行线性质得BG⊥平面CDE，由此能证明平面BCE⊥平面CDE

解答 证明：（Ⅰ）取CE的中点G，连FG、BG．
∵F为CD的中点
∴GF∥DE且GF=$\frac{1}{2}$DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又AB=$\frac{1}{2}$DE，∴GF=AB．
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（Ⅱ）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴DE⊥AF．
又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．
∵BG∥AF，
∴BG⊥平面CDE．
∵BG?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE．

点评 本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．