Question

【题目】已知函数f（x）=x2+bx+c，其中b，c∈R．

（1）当f（x）的图象关于直线x=1对称时，b=______；

（2）如果f（x）在区间[-1，1]不是单调函数，证明：对任意x∈R，都有f（x）＞c-1；

（3）如果f（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．求c2+（1+b）c的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）-2 （2）证明见解析 （3）（0，）

【解析】

(1)求得f(x)的对称轴，由题意可得b的方程，解方程可得b；

(2)由题意可得-1＜-＜1，即-2＜b＜2，运用f(x)的最小值，结合不等式的性质，即可得证；

(3)f(x)在区间(0，1)上有两个不同的零点，设为r，s，(r≠s)，r，s∈(，1)，可设f(x)=(x-r)(x-s)，将c2+(1+b)c写为f(0)f(1)，再改为r，s的式子，运用基本不等式即可得到所求范围．

(1)函数f(x)=x2+bx+c的对称轴为x=-，

由f(x)的图象关于直线x=1对称，

可得-=1，解得b=-2，

故答案为：-2．

(2)证明：由f(x)在[-1，1]上不单调，

可得-1＜-＜1，即-2＜b＜2，

对任意的x∈R，f(x)≥f(-)=-+c=c-，

由-2＜b＜2，可得f(x)≥c-＞c-1；

(3)f(x)在区间(0，1)上有两个不同的零点，

设为r，s，(r≠s)，r，s∈(0，1)，

可设f(x)=(x-r)(x-s)，

由c2+(1+b)c=c(1+b+c)=f(0)f(1)=rs(1-r)(1-s)，

且0＜rs(1-r)(1-s)＜[]2[]2=，

则c2+(1+b)c∈(0/span>，)．