Question

13．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosA），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin2C，
且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．
（1）求角C的大小；
（2）若a+b=2，设D为AB边上中点，求|$\overrightarrow{CD}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）容易求出$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=sin（A+B）=sin2C$，进而得到sinC=sin2C，从而求得cosC=$\frac{1}{2}$，根据C的范围即可得出$C=\frac{π}{3}$；
（2）先得到$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，而根据条件及基本不等式可得到$|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|≤1$，从而${\overrightarrow{CD}}^{2}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）^{2}$，进行数量积的运算，并由完全平方公式可得到${\overrightarrow{CD}}^{2}$=$1-\frac{1}{4}|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|$，从而可以求出${\overrightarrow{CD}}^{2}≥\frac{3}{4}$，进而即可求出$|\overrightarrow{CD}|$的最小值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sin2C$；
A+B=π-C，0＜C＜π；
∴sin（A+B）=sinC=sin2C；
∴sinC=2sinCcosC；
∴$cosC=\frac{1}{2}$，C=$\frac{π}{3}$；
（2）$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，且$|\overrightarrow{CA}|+|\overrightarrow{CB}|=2$；
∴$|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|≤（\frac{|\overrightarrow{CA}|+|\overrightarrow{CB}|}{2}）=1$；
∴${\overrightarrow{CD}}^{2}=\frac{1}{4}（|{\overrightarrow{CA}|}^{2}+|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|+|\overrightarrow{CB}{|}^{2}）$
=$\frac{1}{4}（|\overrightarrow{CA}|+|\overrightarrow{CB}|）^{2}-\frac{1}{4}|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|$
=$1-\frac{1}{4}|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|$
$≥1-\frac{1}{4}$
=$\frac{3}{4}$；
∴$|\overrightarrow{CD}|≥\frac{\sqrt{3}}{2}$；
即$|\overrightarrow{CD}|$的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 考查向量数量积的坐标运算，向量数量积的计算公式，两角和的正弦公式，以及完全平方公式，基本不等式，以及不等式的性质．