题目内容
【题目】设函数,
.
(Ⅰ)若,证明函数
有唯一的极小值点;
(Ⅱ)设且
,记函数
的最大值为M,求使得
的a的最小值.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)正整数a的最小值为3
【解析】
(Ⅰ)设,得出
的单调性,再依据零点存在性定理得出结论.
(Ⅱ)由题得,设
,则
,
则在
上为单调递减函数,从而得出
在
上为单调递减函数,且
,则
,所以,存在唯一的
,使得
,进而可得
在
处取得最大值
,
,所以
,从而得出答案.
(Ⅰ)∵,
设,则
,
当时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增,
且,
当时,
,
当时,取
,则
,
依据零点存在性定理,知存在唯一的,使得
,
且时,
,
递减,
且时,
,
递增,
故为函数
唯一的极小值点.
(Ⅱ)因为,
所以,
设,则
,
则在
上为单调递减函数,
取,则
,
取,则
,
所以,存在唯一的,使得
,即
,
且当时,
,
单调递增,
当时,
,
单调递减,
故函数在
处取得最大值
,
此时,由得
,
,
由两边取对数,得
则,
由已知,,
故正整数a的最小值为3.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响,随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试.测试的方案:电脑模拟驾驶,以某速度匀速行驶,记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离).无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2.
表1
停车距离 | |||||
频数 | 26 | 8 | 2 |
表2
平均每毫升血液酒精含量 | 10 | 30 | 50 | 70 | 90 |
平均停车距离 | 30 | 50 | 60 | 70 | 90 |
已知表1数据的中位数估计值为26,回答以下问题.
(Ⅰ)求的值,并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数;
(Ⅱ)根据最小二乘法,由表2的数据计算关于
的回归方程
;
(Ⅲ)该测试团队认为:驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”大于(Ⅰ)中无酒状态下的停车距离平均数的3倍,则认定驾驶员是“醉驾”.请根据(Ⅱ)中的回归方程,预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”?
(附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
)