Question

【题目】已知数列的前项和为，，且对任意的正整数，都有，其中常数．设﹒

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若且，设，证明数列是等比数列；

（3）若对任意的正整数，都有，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析（3）

【解析】

试题（1）先根据和项与通项关系，将条件转化为，即，再根据题设条件进行构造数列：，即，最后根据等差数列定义得证（2）先根据等比数列定义明确目标：为一个常数，因此利用，代入化简得为，因此是首项为，公比为的等比数列，（3）先化简不等式，实质讨论数列：当时，，当且时，．若，则，然后分别解不等式，难点在当且时，需分类讨论：若时，，，，，不符合，舍去．若时，，，，只须即可，显然成立．故符合条件；若时，，，从而，故，只须即可，于是．

试题解析：解：∵，，

∴当时，，

从而，，﹒

又在中，令，可得，满足上式，

所以，﹒

（1）当时，，，

从而，即，

又，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，

所以．

（2）当且且时，

，

又，

所以是首项为，公比为的等比数列，﹒

（3）在（2）中，若，则也适合，所以当时，．

从而由（1）和（2）可知

当时，，显然不满足条件，故．

当时，．

若时，，，，，不符合，舍去．

若时，，，，，且．

所以只须即可，显然成立．故符合条件；

若时，，满足条件．故符合条件；

若时，，，从而，，

因为．故， 要使成立，只须即可．

于是．

综上所述，所求实数的范围是．