Question

某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：

（Ⅰ）随机变量ξ的分布列；

（Ⅱ）随机变量ξ的期望.

Answer 1

解法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为０，１，２，３，４，５.

由等可能性事件的概率公式得

P(ξ=0)==,     P(ξ=1)=

P(ξ=2)= =,  P(ξ=3)=

P(ξ=4)= =,  P(ξ=5)=

从而ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3	4	5
P

（Ⅱ）由（Ⅰ）得ξ的期望为

Eξ=0×+１×+2×+3×+4×+5×

   ==.

解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.

故ξ－B,即有

P(ξ=k)=C,k=0,1,2,3,4,5.

由此计算ξ的分布列如解法一.

解法三：　（Ⅰ）同解法一或解二.

（Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等.

即3Eξ=5,从而Eξ=.