Question

某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为

4×3

6×5

，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数．
求：
（1）随机变量ξ的分布列；
（2）随机变量ξ的期望和方差．

Answer 1

分析：（1）一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验．故ξ～B(5，

1

3

)，由此能求出ξ的分布列．
（2）由ξ～B(5，

1

3

)，能求出Eξ和Dξ．

解答：解：（1）一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验．
故ξ～B(5，

1

3

)，即有P（ξ=k）=C_k(

1

3

)k(

2

3

)5-k，k=0，1，2，3，4，5．（4分）
从而ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3	4	5
P	32 243	80 243	80 243	40 243	10 243	1 243

（8分）
（2）∵ξ～B(5，

1

3

)，
∴Eξ=np=5×

1

3

=

5

3

；
Dξ=npq=5×

1

3

×

2

3

=

10

9

．（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的合理运用．