题目内容
【题目】已知圆A：（x+1）2+y2=8，动圆M经过点B（1，0），且与圆A相切，O为坐标原点．
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）直线l与曲线C相切于点M，且l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若 
=λ 
，且λ∈[ 
，2]，求△OPQ面积S的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）设动圆M的半径为r，依题意，|MA|=2 
﹣r，|MB|=r，
∴|MA|+|MB|=2 ＞|AB|=2，
∴M点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，即2a=2 ，a= ，2c=2，c=1，
则b2=a2﹣c2=1，
∴椭圆C的标准方程为： 
+y2=1．
（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l：y=kx+b，
，化简得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，
∵l与椭圆C相切于点M，设M（x0，y0），
∴△=8（1+2k2﹣b2）=0，即b2=1+2k2，
且2x0=﹣ 
=﹣ 
，解得：x0=﹣ 
，y0=﹣ 
+b= 
，
∴点M的坐标为（﹣ ， ），
又l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，
∴点P的坐标为（﹣ 
，0），点Q的坐标为（0，b），
∴△OPQ的面积S= 
|OP||OQ|= 
，又b2=1+2k2，
∴S= 
=|k|+ 
，
∴ 
=（ ﹣ ， ）， 
=（ ，b﹣ ），
由 =λ 得， =λ（b﹣ ），化简得λ= 
= 
，
由λ∈[ ，2]，得k2∈[ 
，1]，|k|∈[ ，1]，
又S=|k|+ ，且函数y=x+ 
在[ ， 
]上单调递减，在[ ，1]上单调递增，
∴当|k|= 时，S取得最小值 ，当|k|= 或1时，S取得最大值 
，
∴△OPQ面积S的取值范围是[ ， ]
【解析】（Ⅰ）根据题意求得|MA|与|MB|的关系，结合椭圆的定义可知动圆圆心的轨迹为椭圆，并求得其轨迹方程；（Ⅱ）设出直线l的方程，然后表示出点M，P，Q的坐标，从而表示出三角形OPQ的面积，再结合
求得直线斜率k的取值范围，从而求得△OPQ面积S的取值范围.
