Question

【题目】椭圆C： 的左右焦点分别是F1 ， F2 ， 离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1 ， PF2 ， 设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1 ， PF2的斜率分别为k1 ， k2 ， 若k≠0，试证明 为定值，并求出这个定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把﹣c代入椭圆方程得 ，解得 ，

∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴ ．

又 ，联立得 解得 ，

∴椭圆C的方程为

（2）解：如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n，

由角平分线的性质可得 ，

又t+n=2a=4，消去t得到 ，化为 ，

∵a﹣c＜n＜a+c，即 ，也即 ，解得 ．

∴m的取值范围；

（3）证明：设P（x0，y0），

不妨设y0＞0，由椭圆方程 ，

取 ，则 = ，

∴k= = ．

∵ ， ，

∴ = ，

∴ = =﹣8为定值．

【解析】（1）把﹣c代入椭圆方程并化简，再结合“过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1”与离心率的值可列出方程组，解方程组即可求得椭圆的方程；（2）设|PF1|=t，|PF2|=n，利用角平分线的性质表示出t于n的比值，再利用椭圆的性质将t消去，再根据n的取值范围求得m的取值范围；（3）设出点P的坐标，椭圆方程变形为关于x的函数，再利用导函数得到切线的斜率，即可得到k1，k2，代入即可证明.
【考点精析】掌握直线的斜率和椭圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα；椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．