Question

【题目】已知函数， .

（1）设函数，求函数在区间上的值域；

（2）定义表示中较小者，设函数 .

①求函数的单调区间及最值；

②若关于的方程有两个不同的实根，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)①.答案见解析；②. .

【解析】试题分析：（1）为上的单调增函数，故值域为.（2）计算得，由此得到的单调性和最值，而有两个不同的根则可转化为与的函数图像有两个不同的交点去考虑.

解析：（1）∵函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，∴函数在区间上单调递增，故，即，所以函数在区间上的值域为.

（2）当时，有，故；当时， ，故，故，由（1）知： 在区间上单调递增， 在区间上单调递减，故，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 有最大值4，无最小值.

②∵在上单调递减，∴.又在上单调递增，∴.∴要使方程有两个不同的实根，则需满足.即的取值范围是.