已知函数f(x)=12x2-(a-1)x+alnx.其中常数a∈R．的极值点,(Ⅱ)证明:对任意x∈[1.+∞).lnx≥2(x-1)x+1恒成立,图象上的不同两点A(x1.y1).B(x2.y2)(x1＜x2).如果在函数f(x)图象上存在点M(x0.y0)(其中x0∈(x1.x2)).使得在点M处的切线l∥AB.则称直线AB存在“伴侣切线．特别地.当x0=x1+x22.又称� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知函数f（x）=

x²-（a-1）x+alnx，其中常数a∈R．
（Ⅰ）当a=6时，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）证明：对任意x∈[1，+∞），lnx≥

2(x-1)

x+1

恒成立；
（Ⅲ）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函数f（x）图象上存在点M（x₀，y₀）（其中x₀∈（x₁，x₂）），使得在点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x₀=

x1+x2

，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当a=1时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”，并证明你的结论．

考点：函数恒成立问题,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=6时，求函数导数，根据函数极值和导数之间的关系即可求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）构造函数g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，求函数的导数，即可证明不等式；
（Ⅲ）根据“中值伴侣切线”的定义，结合切线平行和斜率之间的关系，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）当a=6时，f（x）=

x²-5x+6lnx，
f′（x）=x-5+

x2-5x+6

．（x＞0），
当f′（x）=0时，解得x=2或x=3，
当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，2），（3，+∞）上单调递增，
当2＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）在（2，3）上单调递减，
∴x=2为函数f（x）的极大值点，x=3为函数f（x）的极小值点．
（Ⅱ）令g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，（x≥1），
则g′（x）=

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

(x-1)2

x(x+1)2

，
∵x≥1，∴g′（x）≥0，
∴g（x）在[1，+∞）上递增，
∴g（x）≥g（1）=0（当且仅当x=1时等号成立），
即证：对任意x∈[1，+∞），lnx≥

2(x-1)

x+1

恒成立；
（ III）当a=1，f（x）=

x²-+lnx，x＞0，
f′（x）=x+