Question

（本小题满分13分）设是定义在上的函数，对任意实数、，都有，且当＜0时，＞1．
（1）证明：①；
②当＞0时，0＜＜1；
③是上的减函数；
（2）设，试解关于的不等式；

Answer 1

（1）略
（2）当2＜，即＞时，不等式的解集为≤≤；
当2=，即=时，≤0，不等式的解集为；
当2＞，即＜时，不等式的解集为≤≤2.

解：（I）证明：（1）在中，令
得即∴或，
若，则当＜0时，有，与题设矛盾，
∴
（2）当＞0时，＜0，由已知得＞1，
又，，
∴  0＜=＜1， 即＞0时，0＜＜1.
（3）任取＜，则，
∵＜0，∴＞1，又由(1)(2)及已知条件知＞0，
∴＞，∴在定义域上为减函数.
（II）=

又，在上单调递减.
∴原不等式等价于≤0
不等式可化为≤0
当2＜，即＞时，不等式的解集为≤≤；
当2=，即=时，≤0，不等式的解集为；
当2＞，即＜时，不等式的解集为≤≤2.