Question

【题目】已知无穷数列的首项， .

（Ⅰ）证明： ；

（Ⅱ） 记， 为数列的前项和，证明：对任意正整数， .

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.

【解析】试题分析; （I）运用数学归纳法推理论证，

（Ⅱ）由已知，即，可得数列为递增数列。

又 ，易知为递减数列，

则也为递减数列，故当时，

所以当时，

当时， ，成立；

当时，利用裂项求和法即可得证

试题解析：（Ⅰ）证明：①当时显然成立；

②假设当 时不等式成立，即，

那么当时， ，所以，

即时不等式也成立.

综合①②可知， 对任意成立.

（Ⅱ），即，所以数列为递增数列。

又 ，易知为递减数列，

所以也为递减数列，

所以当时，

所以当时，

当时， ，成立；

当时，

综上，对任意正整数，