Question

【题目】定义在R上的函数f（x），f（0）≠0，f（1）=2，当x＞0，f（x）＞1，且对任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）f（b）．
（1）求f（0）的值．
（2）求证：对任意x∈R，都有f（x）＞0．
（3）若f（x）在R上为增函数，解不等式f（3﹣2x）＞4．

Answer 1

【答案】
（1）解：令a=b=0，由f（a+b）=f（a）f（b），得f（0）=f2（0），

∵f（0）≠0，∴f（0）=1

（2）证明：当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞1，

∵f（0）=f（x﹣x）=f（x）﹣f（﹣x）=1，

∴f（x）= ∈（0，1），

又有x＞0，f（x）＞1，且f（0）=1，

∴对任意x∈R，都有f（x）＞0

（3）解：∵f（1+1）=f2（1）=22=4，且f（x）在R上为增函数，

∴f（3﹣2x）＞4可化为f（3﹣2x）＞f（2），

∴3﹣2x＞2，得x ．

∴不等式f（3﹣2x）＞4的解集为（﹣∞，﹣ ）

【解析】（1）在已知等式中取a=b=0可得f（0）的值；（2）当x＜0时，﹣x＞0，利用已知条件可得f（x）= ∈（0，1），结合已知可得答案；（3）由已知等式求得f（2）=4，则不等式f（3﹣2x）＞4等价于f（3﹣2x）＞f（2），利用单调性转化为关于x的一次不等式求解．