Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形， 平面，点， 分别为， 的中点，且， .

（1）证明： 平面；

（2）设直线与平面所成角为，当在内变化时，求二面角的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 见解析;(2) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据直线与平面平行的判定定理，需在平面内找一条与平行的直线.结合题设可取取中点，连接， 易得四边形为平行四边形，从而得，问题得证.

（Ⅱ）思路一、首先作出二面角的平面角，即过棱BC上一点分别在两个平面内作棱BC的垂线.因为，点分别为的中点，则.连接，因为平面，所以AM是PM在面ABC内的射影，所以，所以即为二面角的平面角.再作出直线与平面所成的角，即作出AC在平面PBC内的射影.由， 且得平面，从而平面平面.过点在平面内作于，根据面面垂直的性质知平面．连接，于是就是直线与平面所成的角．在及中，找出与的关系，即可根据的范围求出的范围. 思路二、以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量亦可求解.

试题解析：（Ⅰ）证明：取中点，连接，

因为点分别为的中点，所以

四边形为平行四边形，则又平面， 平面

所以平面.

（Ⅱ）解法1：连接，因为，点分别为的中点，则

又平面，则所以即为二面角的平面角

又，所以平面，则平面平面

过点在平面内作于，则平面．

连接，于是就是直线与平面所成的角，即= ．

在中， ；

在中， ， ．

，

， ．

又， ．

即二面角取值范围为．

解法2：连接，因为，点分别为的中点，则

又平面，则所以即为二面角的平面角，设为

以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

于是， ， ， ．

设平面的一个法向量为，

则由．

得

可取，又，

于是，

，

， ．

又， ．

即二面角取值范围为．