Question

【题目】已知椭圆:的离心率，过椭圆的上顶点和右顶点的直线与原点的距离为，

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在直线经过椭圆左焦点与椭圆交于,两点，使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在,求出直线方程；若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），或.

【解析】试题分析：（1）由题意，根据离心率定义得到与的关系式，再由点求出直线的方程，根据点到直线距离公式，得到与的关系式，再结合，从而得出椭圆方程；（2）根据题意，可将直线斜率存在与否进行分类讨论，由“线段为直径”，得，再利用向量数量积的坐标运算，从而解决问题.

试题解析：（1）由已知得，因为过椭圆的上顶点和右顶点的直线与原点的距离为，所以 ，解得

故所求椭圆的方程:

（2）椭圆左焦点，

①当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于两点，显然不存在满足条件的直线.………6分

②当直线斜率存在时，设直线

联立，消得，

由于直线经过椭圆左焦点，所以直线必定与椭圆有两个交点，恒成立

设则，

若以为直径的圆过点，则，即 (*)

而，代入(*)式得，

即，解得，

即或．

所以存在或使得以线段MN为直径的圆过原点．

故所求的直线方程为，或.