Question

19．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），点A、F分别为其右顶点和右焦点，B₁（0，b），B₂（0，-b），若B₁F⊥B₂A，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $1+\sqrt{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• D． $\sqrt{5}-1$

Answer 1

分析 根据题意，设A（a，0），F（c，0），由向量的坐标计算公式可得$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（c，-b），$\overrightarrow{{B}_{2}A}$=（a，b），进而分析可得$\overrightarrow{{B}_{1}F}$•$\overrightarrow{{B}_{2}A}$=ac-b²=0，结合双曲线的几何性质，可得c²-a²-ac=0，由离心率公式变形可得e²-e-1=0，解可得e的值，即可得答案．

解答 解：根据题意，已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），点A、F分别为其右顶点和右焦点，
设A（a，0），F（c，0），
则$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（c，-b），$\overrightarrow{{B}_{2}A}$=（a，b），
若B₁F⊥B₂A，则有$\overrightarrow{{B}_{1}F}$•$\overrightarrow{{B}_{2}A}$=ac-b²=0，
又由c²=a²+b²，
则有c²-a²-ac=0，
变形可得：e²-e-1=0，
解可得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍）
故e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是由B₁F⊥B₂A分析a、b、c的关系．