Question

设直线l的方程是2x+By-1=0，倾斜角为α．
（1）试将α表示为B的函数；
（2）若

π

6

＜α＜

2π

3

，试求B的取值范围；
（3）若B∈（-∞，-2）∪（1，+∞），求α的取值范围．

Answer 1

分析：（1）要将α表示为B的函数，我们可以利用反正切函数来处理，注意到反正切函数的值域为（-

π

2

，

π

2

），而直线倾斜角的范围为[0，π），故我们要将B的值进行分类讨论，分别写出几中情况下函数的解析式，最后写成分段函数的形式．
（2）由（1）的结论将

π

6

＜α＜

2π

3

代入分段函数的解析式，易求B的取值范围
（3）若B∈（-∞，-2）∪（1，+∞），我们可以根据直线斜率与直线方程中A，B的关系，分析出斜率的取值范围，进一步线出α的取值范围．

解答：解：（1）若B=0，则直线l的方程是2x-1=0，∴α=

π

2

；
若B≠0，则方程即为y=-

2

B

x+

1

B

，
∴当B＜0时，-

2

B

＞0，α=arctan（

-2

B

），
当B＞0时，-

2

B

＜0，α=π+arctan（-

2

B

），
即：α=

arctan(- B 2 )，B＜0 π 2 ，B=0 π-arctan B 2 ，B＞0

（2）若α=

π

2

，则B=0，
若α≠

π

2

，则tanα＜-

3

或tanα＞

3

3

，
即-

2

B

＜-

3

（B＞0）或-

2

B

＞

3

3

（B＜0），
∴-2

3

＜B＜0或0＜B＜

2

3

3

．
综上，知-2

3

＜B＜

2

3

3

．
（3）若B＜-2，则-

2

B

＜1，
∴0＜tanα＜1，0＜α＜

π

4

；
若B＞1，则-

2

B

＞-2，
∴0＞tanα＞-2，π-arctan2＜α＜π．
综上，知π-arctan2＜α＜π或0＜α＜

π

4

．

点评：反正切函数的值域为（-

π

2

，

π

2

），而直线倾斜角的范围为[0，π），故斜率的值为正、为负所对应的函数关系式不一致，一定要分类讨论加以区别．