Question

设直线l的方程是2x+By-1=0，倾斜角为α．
（1）试将α表示为B的函数；
（2）若＜α＜，试求B的取值范围；
（3）若B∈（-∞，-2）∪（1，+∞），求α的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）要将α表示为B的函数，我们可以利用反正切函数来处理，注意到反正切函数的值域为（-，），而直线倾斜角的范围为[0，π），故我们要将B的值进行分类讨论，分别写出几中情况下函数的解析式，最后写成分段函数的形式．
（2）由（1）的结论将＜α＜代入分段函数的解析式，易求B的取值范围
（3）若B∈（-∞，-2）∪（1，+∞），我们可以根据直线斜率与直线方程中A，B的关系，分析出斜率的取值范围，进一步线出α的取值范围．
解答：解：（1）若B=0，则直线l的方程是2x-1=0，∴α=；
若B≠0，则方程即为y=-x+，
∴当B＜0时，-＞0，α=arctan（），
当B＞0时，-＜0，α=π+arctan（-），
即：
（2）若α=，则B=0，
若α≠，则tanα＜-或tanα＞，
即-＜-（B＞0）或-＞（B＜0），
∴-2＜B＜0或0＜B＜．
综上，知-2＜B＜．
（3）若B＜-2，则-＜1，
∴0＜tanα＜1，0＜α＜；
若B＞1，则-＞-2，
∴0＞tanα＞-2，π-arctan2＜α＜π．
综上，知π-arctan2＜α＜π或0＜α＜．
点评：反正切函数的值域为（-，），而直线倾斜角的范围为[0，π），故斜率的值为正、为负所对应的函数关系式不一致，一定要分类讨论加以区别．