Question

18．已知?x₀∈R使不等式|x-1|-|x-2|≥t成立．
（1）求满足条件的实数t的集合T；
（2）若m＞1，n＞1，对?t∈T，不等式log₃m•log₃n≥t恒成立，求mn的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，|x-1|-|x-2|的最大小于或等于t，利用绝对值三角不等式求得|x-1|-|x-2|的最大值为1，可得t的范围，从而求得T．
（2）由题意可得log₃m•log₃n≥1，利用基本不等式log₃m•n≥2$\sqrt{{log}_{3}m{•log}_{3}n}$≥2=log₃9，从而求得mn的最小值．

解答 解：（1）∵?x₀∈R使不等式|x-1|-|x-2|≥t成立，∴|x-1|-|x-2|的最大值大于或等于t，
∵|x-1|-|x-2|≤|x-1-（x-2）|=2，当且仅当1≤x≤2时，取等号，
故|x-1|-|x-2|的最大值为1，∴t≤1，故T={t|t≤1}．
（2）∵m＞1，n＞1，对?t∈T，不等式log₃m•log₃n≥t恒成立，∴log₃m•log₃n≥1．
又log₃m+log₃n=log₃m•n≥2$\sqrt{{log}_{3}m{•log}_{3}n}$≥2=log₃9，∴mn≥9，故mn的最小值为9．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式、基本不等式的应用，属于中档题．