题目内容
3．左、右焦点分别为F1、F2的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点Q（0，$\sqrt{3}$），P为椭圆上一点，△PF1F2的重心为G，内心为I，IG∥F1F2．（1）求椭圆C的方程；
（2）M为直线x-y=4上一点，过点M作椭圆C的两条切线MA、MB，A、B为切点，问直线AB是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
分析 （1）由过点Q，则b=$\sqrt{3}$，求得，△PF1F2的重心为G点坐标，由IG∥F1F2，|y0|=3r，根据三角形的面积公式可知a=2c，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）利用椭圆的切线发浓缩，求得直线AB的方程，由点M为直线x-y=4上，代入整理即可求得定点坐标．
解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，且过点$Q（0，\sqrt{3}）$，
∴$b=\sqrt{3}$…（1分）
设△PF1F2内切圆的半径为r，点P的坐标为（x0，y0），
则△PF1F2重心G的坐标为$（\frac{x_0}{3}，\frac{y_0}{3}）$，
∵IG∥F1F2，
∴|y0|=3r．…（2分）
由△PF1F2面积可得$\frac{1}{2}（|P{F_1}|+|P{F_2}|+|{F_1}{F_2}|$）r=$\frac{1}{2}|{F_1}{F_2}||{y_0}|$，
即a=2c，$（c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}）$，…（4分）
则解得$a=2，b=\sqrt{3}$，
即所求的椭圆方程为则椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（5分）
（2）设M（x1，y1），A（x2，y2），B（x3，y3）则切线MA，MB的方程分别为$\frac{{{x_2}x}}{4}+\frac{{{y_2}y}}{3}=1$，$\frac{{{x_3}x}}{4}+\frac{{{y_3}y}}{3}=1$．…（7分）
∵点M在两条切线上，
∴$\frac{{{x_2}{x_1}}}{4}+\frac{{{y_2}{y_1}}}{3}=1$，$\frac{{{x_3}{x_1}}}{4}+\frac{{{y_3}{y_1}}}{3}=1$，
故直线AB的方程为$\frac{{{x_1}x}}{4}+\frac{{{y_1}y}}{3}=1$．…（9分）
又∵点M为直线x-y=4上，
∴y1=x1-4
即直线AB的方程可化为$\frac{{{x_1}x}}{4}+\frac{{（{x_1}-4）y}}{3}=1$，整理得（3x+4y）x1=16y+12，
由$\left\{\begin{array}{l}3x+4y=0\\ 16y+12=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-\frac{3}{4}\end{array}\right.$，
因此，直线AB过定点$（1，-\frac{3}{4}）$．…（12分）
点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查三角形的重心公式，三角形的面积公式，椭圆的切线公式，考查计算能力，属于中档题．
寒假乐园北京教育出版社系列答案
| A． | 16π | B． | 64π | C． | $\frac{32}{3}$π | D． | 32π |
北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积，设隙积共n层，上底由a×b个物体组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层（即下底）由c×d个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为S=$\frac{n}{6}$[（2b+d）a+（b+2d）c]+$\frac{n}{6}$（c-a）．已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为（ ）| A． | ?x∈[1，2]，x2-3x+2＞0 | B． | ?x∉[1，2]，x2-3x+2＞0 | ||
| C． | $?{x_0}∈[{1，2}]，{x_0}^2-3{x_0}+2＞0$ | D． | $?{x_0}∉[{1，2}]，{x_0}^2-3{x_0}+2＞0$ |
如图，已知直线l：y=k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，点F为抛物线焦点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是$\frac{2}{3}\sqrt{2}$．