Question

【题目】已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴所在直线为轴建立直角坐标系，过点作倾斜角为（）的直线交曲线于、两点.

（1）求曲线的直角坐标方程，并写出直线的参数方程；

（2）过点的另一条直线与垂直，且与曲线交于，两点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（为参数） ；（2）28.

【解析】

（1）利用公式法对极坐标方程和直角坐标方程互化，根据点和倾斜角写出直线的参数方程.

（2）两条直线的参数方程分别与曲线的直角坐标方程联立，由的几何意义和韦达定理，即可求得结果.

（1）由得，

∴为曲线的直角坐标方程，

由作倾斜角为的直线的参数方程为:（为参数）.

（2）将直线的参数方程代入的直角坐标方程得：

，

显然，设，两点对应的参数分别为，，

则，∴，

由于直线与垂直，可设直线的参数方程为:（为参数）

与曲线的直角坐标方程联立同理可得：

，

∴.

当或者时，取得最小值为.