Question

17．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过（4，0）点，且与双曲线x²-y²=2有相同的焦点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设点M（m，0）在椭圆E的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当|$\overrightarrow{MP}}$|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右顶点坐标为（4，0），a=4，c=2，由此能求出椭圆E的标准方程．
（2）设P（x，y）为椭圆上的动点，求得向量MP的坐标，再由模的公式，及二次函数的最值的求法，可得m的范围．

解答 解：（1）双曲线x²-y²=2有相同的焦点为（±2，0）．
∵椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过（4，0）点，且与双曲线x²-y²=2有相同的焦点，
∴a=4，c=2，
∴b=2$\sqrt{3}$，
∴椭圆E的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）设P（x，y）为椭圆上的动点，
由于椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1，∴-4≤x≤4．
∵$\overrightarrow{MP}}$=（x-m，y），
∴|$\overrightarrow{MP}}$|²=（x-m）²+y²=$\frac{1}{4}$（x-4m）²+12-3m²
当|$\overrightarrow{MP}}$|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，
即当x=4时，|$\overrightarrow{MP}}$|²取得最小值，
而x∈[-4，4]，∴4m≥4，m≥1．
又点M在椭圆E的长轴上，∴-4≤m≤4．
∴实数m的取值范围是[1，4]．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用抛物线的焦点和椭圆的离心率公式，考查向量的模的公式和二次函数的思想，考查运算能力，属于中档题．