Question

已知过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）两点，直线OM、ON（O为坐标原点）分别与准线l相交于P、Q两点，下列命题正确的是

 

（请填上正确命题的序号）
①|MN|=x₁+x₂+p
②|MF|=|MQ|
③∠PFQ=

π

2

④|MN|＜|MQ|+|NP|
⑤以线段MF为直径的圆必与y轴相切．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①由抛物线的定义可得|MN|=x₁+x₂+p；假设直线MN的方程与抛物线方程联立，判断MQ⊥PQ，NP⊥PQ，再利用抛物线的定义可得相等的角，进而可求∠PFQ=90°，即可判断其余结论．

解答： 解：①由抛物线的定义可得|MN|=x₁+x₂+p，正确；
由题意，设直线MN的方程为：x=my+

p

2

，代入抛物线y²=2px（p＞0），可得y²-2mpy-p²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁y₂=-p²，∵OM的方程为：y=

y1

x1

x，ON的方程为：y=

y2

x2

x，直线OM、ON（O为坐标原点）分别与准线x=-

p

2

相交于P、Q两点∴P（-

p

2

，-

p2

y1

），∴Q（（-

p

2

，-

p2

y2

）
∵y₁y₂=-p²，∴MQ⊥PQ，NP⊥PQ，∴∠MQF=∠QFO，∠NPF=∠PFO
∵过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M、N两点
∴MQ=MF，NP=NF，∴∠MQF=∠MFQ，∠NFP=∠NPF
∴∠PFQ=90°，∴②③⑤正确；④不正确．
故答案为：①②③⑤．

点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的性质，考查抛物线的过焦点弦，计算要小心，属于中档题．