Question

已知函数f（x）=

3

1+|x|

+

3

1+|x-2|

，则函数g（x）=f[f（x）]-3有

 

个零点．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：画出函数f（x）=

3

1+|x|

+

3

1+|x-2|

的草图，分析函数的值域及f（x）=3的解，进而由g（x）=f[f（x）]-3=0，得到f（x）=3，分类讨论后，综合讨论结果，可得结论．

解答： 解：∵函数f（x）=

3

1+|x|

+

3

1+|x-2|

的图象如下图所示：

由图可知：f（x）∈（0，4]，
令f（x）=3，则x=a或x=1，或x=c，
其中a∈（-1，0），c∈（2，3），
若g（x）=f[f（x）]-3=0，
即f[f（x）]=3，
则f（x）=a，此时方程无解；
或f（x）=1，此时方程有两解；
或f（x）=c，此时方程有两解；
综上所述，函数g（x）=f[f（x）]-3有4个零点．
故答案为：4

点评：本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，其中画出函数的草图分析出函数的性质，是解答的关键．