Question

【题目】设函数,其中.

（Ⅰ）当时,讨论函数的单调性;

（Ⅱ）若函数仅在处有极值,求的取值范围;

（Ⅲ）若对于任意的,不等式上恒成立,求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)在,内是增函数,在,内是减函数.(2);(3).

【解析】

（Ⅰ）当时，，解不等式和得到的增区间和减区间.

（Ⅱ），因仅在取极值，故恒成立，故可得的取值范围.

（Ⅲ）由可知恒成立，结合函数的单调性可知，故由可得的取值范围.

（Ⅰ）.

当时,

.

令,解得,,.

当变化时,,的变化情况如下表:

	↘	极小值	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以在,内是增函数,在,内是减函数.

（Ⅱ）,显然不是方程的根.

为使仅在处有极值,必须恒成立,即有.

解此不等式,得.这时,是唯一极值.

因此满足条件的的取值范围是

（Ⅲ）由条件可知,从而恒成立.

当时,;当时,.

因此函数在上的最大值是与两者中的较大者.

为使对任意的不等式在上恒成立,当且仅当

即

在上恒成立,

所以,因此满足条件的的取值范围是