Question

若n为大于1的自然数，求证：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

13

24

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：当n=2时，

1

2+1

+

1

4

＞

13

24

，不等式成立，假定n=k时，不等式成立，再推导出当n=k+1时，不等式成立，由此利用数学归纳法能证明

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

13

24

．

解答： 证明：当n=2时，

1

2+1

+

1

4

＞

13

24

，不等式成立
假定n=k时，不等式成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

＞

13

24

当n=k+1时，

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2(k+1)

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

-

1

k+1

+

1

2k+1

+

1

2k+2

＞

13

24

-

1

k+1

+

1

2k+1

+

1

2k+2

＞

13

24

，
其中-

1

k+1

+

1

2k+1

+

1

2k+2

=

1

2k+1

-

1

2k+2

＞0
由数学归纳法得命题成立．
∴

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

13

24

．

点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．