Question

已知函数，.
(1)求曲线f(x)在点A处的切线方程；
(II)讨论函数f(x)的单调性;
(III)是否存在实数，使当时恒成立？若存在，求 出实数a;若不存在，请说明理由

Answer 1

(Ⅰ)∵ a＞0，，
∴
=，              …… 2分
于是，，所以曲线y = f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程为，即（a－2）x－ay + 1 = 0．               ……… 4分
(Ⅱ)∵ a＞0，e^ax＞0，∴ 只需讨论的符号．  ………… 5分
ⅰ）当a＞2时，＞0，这时f ′（x）＞0，所以函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数．
ⅱ）当a = 2时，f ′（x）= 2x²e^2x≥0，函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数．…6分
ⅲ）当0＜a＜2时，令f ′（x）= 0，解得，．
当x变化时， f '（x）和f（x）的变化情况如下表：

x
f '（x）	+	0	－	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴f(x)在，,为增函数,f(x)在为减函数．   …… 9分
(Ⅲ)当a∈（1，2）时，∈（0，1）．由(Ⅱ)知f（x）在上是减函数，在上是增函数，故当x∈（0，1）时，，……10分
∴当x∈（0，1）时恒成立，等价于恒成立．……11分
当a∈（1，2）时，，设，则，表明g(t) 在（0，1）上单调递减，于是可得，即a∈（1，2）时恒成立，……13分  符合条件的实数a不存在．

略