Question

10．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC和AD⊥平面ABE证明AE⊥BC，再由BF⊥平面ACE得AE⊥BF，根据线面垂直的判定定理证出AE⊥平面BCE，即证出AE⊥BE；
（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，证明平面MGE∥平面ADE，可得MN∥平面ADE，从而可得结论．

解答 证明：（1）∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，
∴BF⊥AE，BF⊥CE，
∵EB=BC，∴F是CE的中点，
又∵AD⊥平面ABE，AD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ABE，
∵平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB
∴BC⊥平面ABE，
从而BC⊥AE，且BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE，BE?平面BCE，
∴AE⊥BE；
（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，
在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，
∴CN=$\frac{1}{3}$CE．
∵MG∥AE，MG?平面ADE，AE?平面ADE，
∴MG∥平面ADE．
同理，GN∥平面ADE，且MG与GN交于G点，
∴平面MGN∥平面ADE．
又MN?平面MGN，
∴MN∥平面ADE．
故N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．

点评 本题是关于线线、线面和面面垂直与平行的综合题，利用垂直与平行的判定（性质）定理，实现线线、线面和面面的相互转化，属于中档题．