Question

4．已知A为双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点，B₁，B₂分别为虚轴的两个端点，F为右焦点．若B₂F⊥AB₁，则双曲线C的离心率是$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）可得A、F、B₁和B₂各点的坐标，B₂F⊥AB₁，利用向量数量积的坐标公式得到ac-b²=0，结合b²=c²-a²和离心率公式，化简得离心率e的方程，即可解出该双曲线的离心率．

解答 解：由题意，双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）可得A（a，0），F（c，0），B₁（0，b），B₂（0，-b）
∵$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-a，b），$\overrightarrow{{B}_{2}F}$=（c，b）
∴由$\overrightarrow{A{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{B}_{2}F}$得$\overrightarrow{A{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{2}F}$=0，即-ac+b²=0
可得b²=ac，即c²-ac-a²=0，两边都除以a²可得e²-e-1=0
解之得e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$（舍负）
故答案为：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

点评 本题给出双曲线方程，在已知向量垂直的情况下求离心率．着重考查了平面向量数量积公式和双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．