Question

设sinα+sinβ=

1

3

，则sinα-cos2β，的最大值为（　　）

• A．

  4

  3

• B．

  4

  9

• C．-

  11

  12

• D．-

  2

  3

Answer 1

分析：根据所给的函数式，整理出sinβ=（

1

3

-sinα），代入要求的三角函数式，整理出关于sinα的二次函数形式，根据正弦函数的值域，得到函数的最大值．

解答：解：∵sinα+sinβ=

1

3

sinβ=（

1

3

-sinα）
sinα-cos²β
=sinα-1+（sinβ）²
=sinα-1+（

1

3

-sinα）²
=（sinα）²+

1

3

sinα-

8

9

=（sinα+

1

6

）²-

11

12

∴当sinα=1时，上式取最大值=

4

9

故选B．

点评：本题考查三角函数的化简求值即二次函数的性质，本题解题的关键是整理出关于正弦函数的二次函数的形式，问题转化成二次函数的最值．