Question

设x∈R，函数f（x）=cos²（ωx+φ）-

1

2

，（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）．已知f（x）的最小正周期为π，且f（

π

8

）=

1

4

．
（1）求ω和φ的值；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求函数f（x）在区间[

π

24

，

7π

24

]上的最小值和最大值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用三角恒等变换求得f（x）=

1

2

cos（2ωx+2φ），根据f（x）的最小正周期为π求得ω=1．由f(

π

8

)=

1

4

，可得cos（2φ+

π

4

）=

1

2

，结合0＜φ＜

π

2

可得φ的值．
（2）由（1）知f(x)=

1

2

cos(2x+

π

12

)，令2kπ-π≤2x+

π

12

≤2kπ时，求得x的范围，可得f（x）的递增区间．
（3）根据x∈[

π

24

，

7π

24

]．利用余弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最小值．

解答： 解：（1）∵f(x)=cos2(ωx+ϕ)-

1

2

=

1

2

[1+cos(2ωx+2φ)]-

1

2

=

1

2

cos(2ωx+2ϕ)，
f（x）的最小正周期为π=

2π

2ω

，求得ω=1．
∵f(

π

8

)=

1

4

，可得cos（2φ+

π

4

）=

1

2

，结合0＜φ＜

π

2

可得 2φ+

π

4

∈（

π

4

，

5π

4

），
∴2φ+

π

4

=

π

3

，φ=

π

24

．
（2）由（1）知f(x)=

1

2

cos(2x+

π

12

)，
∴当2kπ-π≤2x+

π

12

≤2kπ时，即kπ-

13

24

π≤x≤kπ-

π

24

(k∈Z)时，f（x）单调递增，
故f（x）的单调递增区间是[kπ-

13

24

π，kπ-

π

24

](k∈Z)．
（3）∵x∈[

π

24

，

7π

24

]∴2x+

π

12

∈[

π

6

，

2π

3

]，故当2x+

π

12

=

2π

3

时，函数f（x）取得最小值为

1

2

×(-

1

2

)=-

1

4

．

点评：本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性、单调性，余弦函数的定义域和值域，属于基础题．