Question

已知x∈R，函数f（x）=2^x+k•2^-x，k∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，且f（2m+1）+f（m²-2m-4）＞0，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞]都有f（x）＞2^-x成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（I）利用奇函数的性质可得f（0）=0，再利用导数研究函数的单调性，利用单调性与奇偶性把f（2m+1）+f（m²-2m-4）＞0，转化为2m+1＞-（m²-2m-4），解出即可．
（II）对任意的x∈[0，+∞]都有f（x）＞2^-x成立，化为k＞1-4^x对任意的x∈[0，+∞]恒成立，等价于k＞（1-4^x）_max，利用函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）∵函数f（x）为奇函数且x∈R．
∴f（0）=0，
∴2⁰+k•2⁰=0，解得k=-1．
∴f（x）=2^x-2^-x．
∵f′（x）=2^xln2+2^-xln2=（2^x+2^-x）ln2＞0，
∴f（x）在R上是增函数，
∵f（2m+1）+f（m²-2m-4）＞0，
∴2m+1＞-（m²-2m-4），
化为m²＞3，
解得m＜-

3

或m＞

3

．
（II）∵对任意的x∈[0，+∞]都有f（x）＞2^-x成立，
∴2^x+k•2^-x＞2^-x成立，
∴化为k＞1-4^x对任意的x∈[0，+∞]恒成立，
∴k＞（1-4^x）_max，
又令g（x）=1-4^x，则g（x）在x∈[0，+∞]单调递减，
∴t≤1-4⁰=0，
∴k＞0．

点评：本题考查了函数的单调性奇偶性，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．