Question

12．已知双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左右焦点分别为F₁，F₂．以原点O为圆心，OF₁为半径的圆记为曲线C₂．P为双曲线C₁右支上的一点，PF₁交圆C₂于点E，若有|EF₁|-|EP|=2a，$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$=2，则双曲线的离心率为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，结合直径所对的圆周角为直角，运用勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$=2，可得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
即为|EF₁|+|EP|=4a，
又|EF₁|-|EP|=2a，
可得|EF₁|=3a，|EP|=a，|EF₂|=$\sqrt{4{a}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
即有4c²=9a²+3a²，即c²=3a²，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．