Question

【题目】已知函数，其中．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数存在两个极值点，，且，证明：．

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】分析：（1）对m分类讨论求函数的单调区间.(2)先求出，再构造函数，，求它的范围.

详解：（1）函数定义域为，且，，

令，，

当，即时，，∴在上单调递减；

当，即时，由，解得，，

若，则，∴时，，单调递减；

时，，单调递增；时，，单调递减；

若，则，∴时，，单调递减；时，，单调递增；

综上所述：时，的单调递减区间为，单调递增区间为；

时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；

时，的单调递减区间为．

（2）因为函数定义域为，且，

∵函数存在两个极值点，∴在上有两个不等实根，，

记，则∴，

从而由且，可得，，

∴ ，

构造函数，，

则，

记，，则，

令，得（，故舍去），

∴在上单调递减，在上单调递增，

又，，

∴当时，恒有，即，

∴在上单调递减，

∴，即，

∴．