Question

【题目】以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐标方程为．

（1）若，求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1)，.(2).

【解析】分析：（1）将代入到直线的参数方程，消去即可得直线的普通方程，再根据，即可求得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程，根据韦达定理可得，，结合参数的几何意义及三角函数的图象与性质即可求得的最小值．

详解：（1）当时，由直线的参数方程消去得，即直线的普通方程为；

因为曲线过极点，由，得，

所以曲线的直角坐标方程为．

（2）将直线的参数方程代入，得.

由题意知，设，两点对应的参数分别为，，则，.

∴ ．

∵，，.

∴当，即时，的最小值为．