Question

【题目】已知椭圆：，过上一动点作轴，垂足为点．当点满足时，点的轨迹恰是一个圆．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若与曲线切于点的直线与椭圆交于，两点，且当轴时，，求的最大面积．

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】分析：（1）先求点N的轨迹方程得到，再求椭圆的离心率.(2)先转化为求|AB|的最大值，再求，再求|AB|的最大值和面积的最大值.

详解：（1）设，，由轴知，

∵，∴

又∵点在椭圆上，∴，即，

又点的轨迹恰是一个圆，那么，

，

∵，∴．

（2）由（1）知椭圆：，圆：．

当轴时，切点为与轴的交点，即，

此时，，即，

故：，：．

设直线：（斜率显然存在），，，

由直线与相切知，，即，

联立直线与椭圆的方程

得，

其中，

有那么，

令（），则，

又函数在上单调递增，则，故，

∴，即的最大面积为．