Question

9．若函数y=f（x）的导数y′=f′（x）仍是x的函数，就把y′=f′（x）的导数y″=f″（x）叫做函数y=f（x）二阶导数，记做y^（2）=f^（2）（x）．同样函数y=f（x）的n-1阶导数的导数叫做y=f（x）的n阶导数，表示y^（n）=f^（n）（x）．在求y=ln（x+1）的n阶导数时，已求得$y'=\frac{1}{x+1}，{y^{（2）}}=-\frac{1}{{{{（x+1）}^2}}}，{y^{（3）}}=\frac{1•2}{{{{（x+1）}^3}}}$，${y^{（4）}}=-\frac{1•2•3}{{{{（x+1）}^4}}}，…$，根据以上推理，函数y=ln（x+1）的第n阶导数为${y^{（n）}}={（{-1}）^{n-1}}\frac{{（{n-1}）!}}{{{{（{1+x}）}^n}}}$．

Answer 1

分析 根据导数的计算和归纳推理即可求出答案．

解答 解：求y=ln（x+1）的n阶导数时，已求得$y'=\frac{1}{x+1}，{y^{（2）}}=-\frac{1}{{{{（x+1）}^2}}}，{y^{（3）}}=\frac{1•2}{{{{（x+1）}^3}}}$，${y^{（4）}}=-\frac{1•2•3}{{{{（x+1）}^4}}}，…$，根据以上推理，函数y=ln（x+1）的第n阶导数为 ${y^{（n）}}={（{-1}）^{n-1}}\frac{{（{n-1}）!}}{{{{（{1+x}）}^n}}}$．
故答案为：${y^{（n）}}={（{-1}）^{n-1}}\frac{{（{n-1}）!}}{{{{（{1+x}）}^n}}}$．

点评 本题考查了导数的计算和归纳推理的问题，属于基础题．