Question

1．f（x）=x²+ax+b与坐标轴有三个交点A，B，C，且△ABC外心在y=x上，则a+b=（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． 0
• D． -2

Answer 1

分析 可画出图形，设得到C（0，b），然后设A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，设O₁为△ABC的外心，从而可得到${x}_{1}=\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2}，{x}_{1}+{x}_{2}=-a$，这样根据O₁在y=x便可得到${O}_{1}（-\frac{a}{2}，-\frac{a}{2}）$，从而由|O₁A|=|O₁C|便可以得到b（a+b+1）=0，而容易说明b≠0，从而有a+b+1=0，这便得出a+b的值．

解答 解：如图，易得C（0，b），设A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，O₁为△ABC的外心，则：

x₁，x₂为方程x²+ax+b=0的两个实根；
∴${x}_{1}=\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2}，{x}_{1}+{x}_{2}=-a$；
∴O₁的横坐标为$-\frac{a}{2}$，又O₁在y=x上；
∴${O}_{1}（-\frac{a}{2}，-\frac{a}{2}）$；
由|O₁A|=|O₁C|得，$（-\frac{a}{2}-\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2}）^{2}+（-\frac{a}{2}-0）^{2}$=$（-\frac{a}{2}-0）^{2}+（-\frac{a}{2}-b）^{2}$；
整理得，ab+b²+b=0；
∴b（a+b+1）=0；
显然b≠0，否则f（x）的图象与坐标轴只有2个交点；
∴a+b+1=0；
∴a+b=-1．
故选：B．

点评 考查二次函数f（x）图象和x轴交点的坐标与方程f（x）=0实根的关系，一元二次方程的求根公式，以及韦达定理，三角形外心的概念，两点间的距离公式．