Question

12．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[-2，0]时，f（x）=x²+2x，若x∈[2，4]时，$f（x）≥2log_2^{（t+1）}$恒成立，则实数t的取值范围是（-1，-$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 由f（x+2）=2f（x），可得f（x）=2f（x-2），求得0≤x≤2时，2≤x≤4时的f（x）的解析式，由题意可得t+1＞0且t+1≤4^{（x-4）（x-2）}在[2，4]恒成立，运用二次函数的最值求法和指数函数的单调性，可得最小值，进而得到所求a 的范围．

解答 解：当x∈[-2，0]时，f（x）=x²+2x，
由0≤x≤2时，可得-2≤x-2≤0时，
由定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），
可得f（x）=2f（x-2）=2（x-2）²+4（x-2），（0≤x≤2），
由2≤x≤4，可得0≤x-2≤2时，
则f（x）=2f（x-2）=4（x-4）²+8（x-4），（2≤x≤4），
若x∈[2，4]时，$f（x）≥2log_2^{（t+1）}$恒成立，
即为t+1＞0且t+1≤4^{（x-4）（x-2）}在[2，4]恒成立，
由（x-4）（x-2）=x²-6x+8=（x-3）²-1，
可得x=3时，取得最小值-1，
即有0＜t+1≤$\frac{1}{4}$，
解得-1＜t≤-$\frac{3}{4}$．
故答案为：（-1，-$\frac{3}{4}$]．

点评 本题考查的知识点是函数的解析式求法和恒成立问题，注意运用转化思想，运用二次函数的最值求法是解题的关键，属于中档题．