Question

19．设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，已知抛物线上一点Q，其纵坐标为4，且|QF|=4．
（1）求p的值；
（2）设点Q关于x轴的对称点是R，直线l与抛物线交于异于Q、R的不同两点A、B，且直线QA、QB的斜率之积为-4，求△RAB面积最小时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出P的横坐标为$\frac{8}{p}$，利用|QF|=4，根据抛物线的定义建立方程，求出p的值；
（2）求出R（2，-4），设直线l的方程为x=my+b，代入y²=8x，利用直线QA、QB的斜率之积为-4，求出x=my+4m+4，求出|AB|，R到直线l的距离，得出面积，即可求△RAB面积最小时直线l的方程．

解答 解：（1）∵P的纵坐标为4，∴P的横坐标为$\frac{8}{p}$，
∵|QF|=4，
∴$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$=4，
∵p＞0，
∴p=4；
（2）由（1）Q（2，4），则R（2，-4）
设直线l的方程为x=my+b，代入y²=8x，可得y²-8my-8b=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=8m，y₁y₂=-8b，
∵直线QA、QB的斜率之积为-4，
∴$\frac{{y}_{1}-4}{{x}_{1}-2}•\frac{{y}_{2}-4}{{x}_{2}-2}$=-4，
∴y₁y₂+4（y₁+y₂）+32=0，
∴-8b+32m+32=0，
∴b=4m+4，
∴x=my+4m+4，
∵|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y₁-y₂|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{64{m}^{2}+32b}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{64{m}^{2}+128m+128}$
R到直线l的距离为$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
∴△RAB面积S=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{64{m}^{2}+128m+128}$•$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\sqrt{64{m}^{2}+128m+128}$=8$\sqrt{（m+1）^{2}+1}$
∴m=-1时，△RAB面积最小，最小值为8，直线l的方程为x+y=0．

点评 本题考查抛物线的方程与定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．