Question

10．设a，b，c∈R⁺．求证：
（1）ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）≥6abc；
（2）（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b+c}$）≥4．

Answer 1

分析 （1）由a，b，c＞0，可得ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）=b（a²+c²）+a（b²+c²）+c（a²+b²），再由重要不等式a²+b²≥2ab，即可得证；
（2）运用基本不等式：a+b≥2$\sqrt{ab}$，再由不等式的性质：可乘性，即可得证．

解答 证明：（1）由a，b，c＞0，
可得ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）
=b（a²+c²）+a（b²+c²）+c（a²+b²）
≥b•2ac+a•2bc+c•2ab=6abc，
当且仅当a=b=c取得等号；
（2）由a，b，c＞0，可得
a+b+c≥2$\sqrt{a（b+c）}$，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b+c}$≥2$\sqrt{\frac{1}{a（b+c）}}$，
即有（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b+c}$）≥2$\sqrt{a（b+c）}$•2$\sqrt{\frac{1}{a（b+c）}}$=4，
当且仅当a=b+c取得等号．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和不等式的性质，考查运算和推理能力，属于基础题．