Question

【题目】已知函数有两个极值点(为自然对数的底数).

(Ⅰ)求实数的取值范围；

(Ⅱ)求证：.

Answer 1

【答案】(1);(2)见解析.

【解析】分析：(Ⅰ) 函数有两个极值点，只需有两个根，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理与函数图象可得当时，没有极值点；当时，当时，有两个极值点；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，为的两个实数根，，在上单调递减，问题转化为，要证，只需证，即证，利用导数可得，从而可得结论.

详解： (Ⅰ)∵，∴.

设，则.

令，解得.

∴当时，；当时，.

∴.

当时，，∴函数单调递增，没有极值点；

当时，，且当时，；当时，.

∴当时，有两个零点.

不妨设，则.

∴当函数有两个极值点时，的取值范围为.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，为的两个实数根，，在上单调递减.

下面先证，只需证.

∵，得，∴.

设，，

则，∴在上单调递减，

∴，∴，∴.

∵函数在上也单调递减，∴.

∴要证，只需证，即证.

设函数，则.

设，则，

∴在上单调递增，∴，即.

∴在上单调递增，∴.

∴当时，，则，

∴，∴.