Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆：，圆： （，且）.

（1）设为坐标轴上的点，满足：过点P分别作圆与圆的一条切线，切点分别为、，使得，试求出所有满足条件的点的坐标；

（2）若斜率为正数的直线平分圆，求证：直线与圆总相交.

Answer 1

【答案】（1）或（2）见解析

【解析】

分析：（1）设点的坐标为，根据切线长定理可得，又为坐标轴上的点，由此可得所求．（2）由题意可设直线的方程为，即．问题等价于圆心到直线的距离小于半径，即 ，分析可得，由可得，从而得结论成立．

详解：（1）设点的坐标为，圆与圆的半径分别为，

由题意得，

即

化简得，

因为为坐标轴上的点，

所以点的坐标为或.

（2）依题意知直线过圆的圆心，可设直线的方程为，即，

则圆心到直线的距离为，

又圆的半径为，

“直线与圆总相交”等价于“且， ”，

即 ①，

记，整理得，

当时，得；

当时，由判别式，

解得；

综上得，的最小值为1，

所以由①可得，解得．

故直线与圆总相交．