题目内容
4．
如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC=3，BD=4，直线AD与平面BCD所成的角为45°，点E，F分别是AC，AD的中点．（1）求证：EF∥平面BCD；
（2）求三棱锥A-BCD的体积．
分析 （1）由中位线定理可得EF∥CD，故EF∥平面BCD；
（2）以BCD为底面，则棱锥的高为AB，代入体积公式计算即可．
解答 解：（1）∵点E，F分别是AC，AD的中点，
∴EF∥CD，又∵EF?平面BCD，CD?平面BCD，
∴EF∥平面BCD．
（2）∵AB⊥平面BCD，
∴∠ADB为直线AD与平面BCD所成的角，
∴∠ADB=45°，
∴AB=BD=4，
∵BC⊥BD，
∴S△BCD=$\frac{1}{2}×BC×BD$=6．
∴三棱锥A-BCD的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AB$=8．
点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．
练习册系列答案
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9．
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如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA•AC=1，∠ABC=θ（0＜θ≤$\frac{π}{2}$），则四棱锥P-ABCD的体积V的取值范围是（ ）| A． | [$\frac{\sqrt{2}}{6}$，$\frac{1}{3}$） | B． | （$\frac{\sqrt{2}}{12}$，$\frac{1}{6}$] | C． | （$\frac{\sqrt{2}}{6}$，$\frac{1}{3}$] | D． | [$\frac{\sqrt{2}}{12}$，$\frac{1}{6}$） |
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