Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是CB、CD、CC₁的中点，
（1）求证：平面AB₁D₁∥平面EFG；
（2）求证：平面AA₁C⊥面EFG．

Answer 1

分析：（1）连接BD、BC₁，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中利用对角面BB₁D₁D是平行四边形得到B₁D₁∥BD，再利用三角形BCD的中位线得到EF∥BD，从而得到EF∥B₁D₁．结合
直线与平面平行的判定定理，得到EF∥平面AB₁D₁，同理可得EG∥平面AB₁D₁．最后用平面与平面平行的判定定理，可以证出平面AB₁D₁∥平面EFG；
（2）利用正方体的侧棱垂直于底面，得到AA₁⊥平面ABCD，从而AA₁⊥EF，再利用正方形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直且EF∥BD，得到AC⊥EF，结合直线与平面垂直的判定定理，得到EF⊥平面AA₁C，最后用平面与平面垂直的判定定理，可得平面AA₁C⊥面EFG．

解答：解：（1）连接BD、BC₁
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁∥DD₁且BB₁=DD₁
∴四边形BB₁D₁D是平行四边形，B₁D₁∥BD
又∵△BCD中，E、F分别是CB、CD的中点
∴EF∥BD⇒EF∥B₁D₁
又∵EF?平面AB₁D₁，B₁D₁?平面AB₁D₁
∴EF∥平面AB₁D₁，同理可得EG∥平面AB₁D₁
∵EF∩EG=E，EF、EG?平面EFG
∴平面AB₁D₁∥平面EFG
（2）∵AA₁⊥平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴AA₁⊥EF
∵正方形ABCD中，AC⊥BD且EF∥BD
∴AC⊥EF
∵AA₁∩AC=A，AA₁、AC?平面AA₁C
∴EF⊥平面AA₁C
∵EF?面EFG
∴平面AA₁C⊥面EFG．

点评：本题以正方体中的平面与平面平行、平面与平面垂直为例，考查了平面与平面平行的判定定理和平面与平面垂直的判定定理，属于中档题．